Grundlagen: Optimierung

Autor: Dr.-Ing. Alfred Kamusella

Transformation von Entwurfsproblemen in Optimierungsaufgaben

Ideale und reale Loesungen

Im Rahmen eines Entwurfsprozesses wird für eine gegebene Aufgabenstellung die "ideale Lösung" gesucht:

• Die ideale Lösung soll alle Forderungen und Wünsche der präzisierten Aufgabenstellung perfekt erfüllen.
• Im allgemeinen ist die technische Realisierung der anzustrebenden Lösung zu Beginn des Entwurfsprozesses unbekannt:

Aufgabenstellung überführen in eine (unbekannte) Ideal-Lösung

• Leider muss man sich am Ende des Entwurfsprozesses mit einer Kompromiss-Lösung zufrieden geben:
  1. Man verfügt nur über begrenzte Ressourcen an Zeit und Geld.
  2. Im Normalfall existieren immer widersprüchliche Anforderungen.
• Als Optimum bezeichnet man die beste, unter diesen Bedingungen erreichbare Lösung im Sinne eines Kompromisses zwischen verschiedenen Eigenschaften.

Bei der Aufgabenstellung in einem Entwurfsprozesses handelt es sich meist nicht nur um eine "Aufgabe", sondern um ein Problem, weil ihre Lösung mit Schwierigkeiten verbunden ist und das Erreichen einer befriedigenden Lösung nicht gesichert ist:

• Der Bearbeiter muss bei der Problemlösung heuristisch vorgehen, da für den Entwurfsprozess keine Algorithmen existieren, welche das Erreichen einer Lösung garantieren.
• Heuristik ist ein erkenntnistheoretisches Verfahren mit dem Zweck, durch Entwicklung und Anwendung von meist unbewiesenen Methoden neue Erkenntnisse zu gewinnen (Erfindungskunst, von griechisch heuriskein = finden):
• Heuristische Methoden basieren auf Erfahrungen.
• Sie können auch auf falschen Erfahrungen (z.B. Scheinkorrelationen) basieren und trotzdem zu brauchbaren Lösungen führen.

Numerische Optimierung als heuristische Methode

Die Anwendung von Verfahren der numerischen Optimierung zum Finden optimaler Lösungen in Entwurfsprozessen ist eine heuristische Methode:

• Grundlage ist die strukturelle strukturellen Ähnlichkeit zwischen den einzelnen Phasen des Entwurfsprozesses und dem Grundprinzip der Optimierung als Teilgebiet der angewandten Mathematik.
• Optimierung ist die Extremwertsuche (Minima bzw. Maxima) mit Randbedingungen auf einer Zielfunktion f, welche die Güte eine Lösung in Abhängigkeit von den veränderlichen Variablen der Optimierungsaufgabe berechnet:

Gütewert = f (Optimierungsvariablen)

• Bei der numerischen Optimierung mit Hilfe von Computern wird meist eine Minimum-Suche betrieben. Das hat historische Gründe. Als die Computer noch mit Genauigkeiten von nur 5-6 Dezimalstellen rechneten, war dies notwendig, um kleine Absolutwert-Änderungen des Gütewertes erfassen zu können.
• Den Gütewert kann man sich dann als Distanz zur "unbekannten!" Ideallösung vorstellen. Die Zielfunktion muss dafür so formuliert werden, dass der Gütewert um so kleiner wird, je näher man dieser Ideallösung kommt:

Zielfunktion f = numerisches Modell der Lösung + Bewertungsfunktion

• Die Bewertungsfunktion quantifiziert das qualitative Verhalten der aktuellen Lösung und berechnet den Gütewert (bzw. mehrere Teilgüten).

Wuensche als Guetekriterien

Wie in den Grundlagen zum Entwurfsprozess beschrieben, sollte ein Entwurfsproblem während der Aufgabenpräzisierung in Form einer Anforderungsliste beschrieben werden:

Aufgabenstellung = Wünsche + Forderungen

1. Wünsche:

   Qualitative Anforderungen im Sinne "möglichst ...." (schnell, billig, leise usw.)

2. Forderungen:

   Quantitative Anforderungen, die unbedingt zu erfüllen sind
   (z.B. Verlustleistung < 1 W, Geschwindigkeit > 1 m/s, Temperatur zwischen 20°C und 100°C)

• Die "Wünsche" und "Forderungen" der Aufgabenstellung müssen durch entsprechende Modellgrößen (Parameter / Variablen) repräsentiert werden, damit ein Optimierungstool darauf Bezug nehmen kann.
• Der Erfüllungsgrad eines Wunsches sollte als Distanz zur "idealen" Wunscherfüllung im Modell abgebildet werden (als ein Gütekriterium).

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Vorläufige weitere Gliederung:

• Transformation von Entwurfsproblemen in Optimierungsaufgaben
  • "Forderungen" (Restriktionen) als Straffunktion
  • Unzulässige Lösungen als Restriktionsverletzungen
  • Entwurfsgrößen und Entwurfsparameter
  • Suchraum-Reduktion
  • Lösungssuche mit Optimierungsverfahren
  • Hierarchische Optimierung
    1. Suche zulässiger Lösungen (Straf-Funktion
    2. Bestmögliche Wunscherfüllung (Güte-Funktion)
  • Mehrkriterienoptimierung