Grundlagen: Optimierung

Autor: Dr.-Ing. Alfred Kamusella

Transformation von Entwurfsproblemen in Optimierungsaufgaben

Ideale und reale Loesungen

Im Rahmen eines Entwurfsprozesses wird für eine gegebene Aufgabenstellung die "ideale Lösung" gesucht:

• Die ideale Lösung soll alle Forderungen und Wünsche der präzisierten Aufgabenstellung perfekt erfüllen.
• Im allgemeinen ist die technische Realisierung der anzustrebenden Lösung zu Beginn des Entwurfsprozesses unbekannt:

Aufgabenstellung überführen in eine (unbekannte) Ideal-Lösung

• Leider muss man sich am Ende des Entwurfsprozesses mit einer Kompromiss-Lösung zufrieden geben:
  1. Man verfügt nur über begrenzte Ressourcen an Zeit und Geld.
  2. Im Normalfall existieren immer widersprüchliche Anforderungen.
• Als Optimum bezeichnet man die beste, unter diesen Bedingungen erreichbare Lösung im Sinne eines Kompromisses zwischen verschiedenen Eigenschaften.

Bei der Aufgabenstellung in einem Entwurfsprozesses handelt es sich meist nicht nur um eine "Aufgabe", sondern um ein Problem, weil ihre Lösung mit Schwierigkeiten verbunden ist und das Erreichen einer befriedigenden Lösung nicht gesichert ist:

• Der Bearbeiter muss bei der Problemlösung heuristisch vorgehen, da für den Entwurfsprozess keine Algorithmen existieren, welche das Erreichen einer Lösung garantieren.
• Heuristik ist ein erkenntnistheoretisches Verfahren mit dem Zweck, durch Entwicklung und Anwendung von meist unbewiesenen Methoden neue Erkenntnisse zu gewinnen (Erfindungskunst, von griechisch heuriskein = finden):
• Heuristische Methoden basieren auf Erfahrungen.
• Sie können auch auf falschen Erfahrungen (z.B. Scheinkorrelationen) basieren und trotzdem zu brauchbaren Lösungen führen.

Numerische Optimierung als heuristische Methode

Die Anwendung von Verfahren der numerischen Optimierung zum Finden optimaler Lösungen in Entwurfsprozessen ist eine heuristische Methode:

• Grundlage ist die strukturelle Ähnlichkeit zwischen den einzelnen Phasen des Entwurfsprozesses und dem Grundprinzip der Optimierung als Teilgebiet der angewandten Mathematik.
• Optimierung ist die Extremwertsuche (Minima bzw. Maxima) mit Randbedingungen auf einer Zielfunktion f, welche die Güte eine Lösung in Abhängigkeit von den veränderlichen Variablen der Optimierungsaufgabe berechnet:

Gütewert = f (Optimierungsvariablen)

• Bei der numerischen Optimierung mit Hilfe von Computern wird meist eine Minimum-Suche betrieben. Das hat historische Gründe. Als die Computer noch mit Genauigkeiten von nur 5-6 Dezimalstellen rechneten, war dies notwendig, um kleine Absolutwert-Änderungen des Gütewertes erfassen zu können.
• Den Gütewert kann man sich dann als Distanz zur "unbekannten!" Ideallösung vorstellen. Die Zielfunktion muss dafür so formuliert werden, dass der Gütewert um so kleiner wird, je näher man dieser Ideallösung kommt:

Zielfunktion f = numerisches Modell der Lösung + Bewertungsfunktion

• Die Bewertungsfunktion quantifiziert das qualitative Verhalten der aktuellen Lösung und berechnet den Gütewert (bzw. mehrere Teilgüten).

Wuensche als Guetekriterien

• Wie in den Grundlagen zum Entwurfsprozess beschrieben, sollte ein Entwurfsproblem während der Aufgabenpräzisierung in Form einer Anforderungsliste beschrieben werden:

Aufgabenstellung = Wünsche + Forderungen

Wünsche:

Qualitative Anforderungen im Sinne "möglichst ...." (schnell, billig, leise usw.)

Forderungen:

Quantitative Anforderungen, die unbedingt zu erfüllen sind
(z.B. Verlustleistung < 1 W, Geschwindigkeit > 1 m/s, Temperatur zwischen 20°C und 100°C)

• Damit ein Optimierungstool auf die "Wünsche" und "Forderungen" der Aufgabenstellung Bezug nehmen kann, müssen diese durch entsprechende Modellgrößen (Parameter / Variablen) repräsentiert werden.
• Dabei sollte der Erfüllungsgrad eines Wunsches wertemäßig als Distanz zur "idealen" Wunscherfüllung im Modell abgebildet werden.
• Nutzt man die zugehörige Variable in einem Optimierungstool als Gütekriterium, so führt die Minimierung des Wertes zu einer Annäherung an die gewünschte ideale Lösung.

Forderungen als Restriktionen

• Die Verfahren der numerischen Optimierung gestatten die Berücksichtigung von Randbedingungen (Restriktionen), indem bei Restriktionsverletzungen eine Straffunktion mit einem Wert>0 gebildet wird:

Zielfunktion = Gütefunktion | Straffunktion

• Der Wert der Straffunktion widerspiegelt den aktuellen Grad der Restriktionsverletzung.
• Als Zielfunktion wird die Straffunktion benutzt, solange Restriktionen verletzt werden. Die Optimierung (Minimumsuche) führt zu Lösungen, welche keine Restriktionen mehr verletzen.
• Ist der Wert der Straffunktion=0 (d.h., es werden keine Restriktionen verletzt), so wird die Zielfunktion aus den Gütekriterien gebildet. Die Optimierung (Minimierung) führt zu Lösungen, welche die Wünsche möglichst gut erfüllen.

• Die Restriktionen resultieren aus den Forderungen der Aufgabenstellung, den Eigenschaften von Werkstoffen und Systemkomponenten sowie den Naturgesetzen. Dabei unterscheidet man:
  1. Funktionsbezogene Restriktionen - Die angestrebte Funktion wird nicht erfüllt (z.B. Prägen des Papiers, zu lange Zykluszeit).
  2. Innere Restriktionen - Es werden Grenzwerte von Komponenten des modellierten Systems überschritten (Belastung der Materialien, von Komponenten).
  3. Äußere Restriktionen - Es werden Grenzwerte für die Umgebung des modellierten Systems überschritten (Maße, Masse, Belastung von Umgebungskomponenten mit Strom, Temperatur).
  4. Naturgesetzliche Restriktionen - Es gibt keine physikalische Entsprechung für ermittelte Kennwerte (z.B. negative Massen, Durchdringung starrer Körpern, negative Drahtlänge mit negativem ohmschen Widerstand, negative Windungszahlen).

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Vorläufige weitere Gliederung:

• Transformation von Entwurfsproblemen in Optimierungsaufgaben
  • Unzulässige Lösungen als Restriktionsverletzungen
  • Entwurfsgrößen und Entwurfsparameter
  • Suchraum-Reduktion
  • Lösungssuche mit Optimierungsverfahren
  • Hierarchische Optimierung
    1. Suche zulässiger Lösungen (Straf-Funktion
    2. Bestmögliche Wunscherfüllung (Güte-Funktion)
  • Mehrkriterienoptimierung